|
Ekstra
påskenøtt
2003
Innsendt riktig svar på denne nøtta gir 5 lodd i
trekningen av månedens premier,
se premielisten.
Tidsfrist er kl. 24:00 siste dag i måneden.
Du kan sende løsning på så mange nøtter du vil, og hvert riktig
svar gir et eller flere lodd i trekningen av premiene. Hver deltager
kan bare få lodd en gang for hver nøtt.
Månedens nøtteknekker:
Den første som sender riktig løsning på 20 (av 23) april-oppgaver
får tittelen Månedens nøtteknekker og får også en premie. Hvis
ingen løser 20 nøtter, vil tittelen og premien gå til den som
har flest lodd. Er det flere som har samme antall finnes en vinner
ved loddtrekning.
Løsninger og premielister kommer etter 1/5-2003
premielisten.
Andre premienøtter, se linker under.
Utvalgt og tilrettelagt av Sturla
Sandlie
Tenk på 2 tall svar
Jeg har med 3 matematikere
på hytta i påsken, og en kveld blir vi enige om å leke en liten
lek.
Jeg skal tenke på to tall som skal være større enn 1, og hviske
summen til den ene, og produktet til den andre. Så skal de prøve
å finne tallene. For å begrense mulighetene litt stipulerer vi at
summen skal være mindre enn 500.
Etter å ha fått summen sier Niels Henrik:
- Jeg ser at ingen av oss kan vite hva tallene er.
Men Even, som har fått produktet sier:
- Jo, nå vet jeg det.
Og Niels Henrik sier:
Da vet jeg det også.
Da sier Albert:
- Ja vel, da vet jeg det også.
Hvordan kunne de vite tallene, spesielt Albert, og hva var de ?
Litt hjelp på veien:
Da Niels Henrik opprinnelig er sikker på at ingen av dem kan vite
hvilke tall det er kan vi konkludere:
1)
Summen kan ikke være resultat av summering av to primtall.
2) Produktet kan ikke være mindre enn 12, ellers ville det vært
bare en løsning.
Slike mulige summer
-
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77,
79, 83, 87, 89, 93, 95, 97, 101, 107, 113, 117, 119, 121, 123, 125,
127, 131, 135, 137, 143, 145, 147, 149, 155, 157, 161, 163, 167,
171, 173, 177, 179, 185, 187, 189, 191, 197, ....
Even har det lettest. Han kan faktorere produktet han har fått, se
på summen av faktorer, og se om én av summene er en mulig sum (fra
listen over). Hvis det er én, og bare en slik sum, har han svaret.
Niels Henrik har det litt vanskeligere. Han må se på alle
produktene som kan fremkomme av to tall som gir summen han har fått,
og for hvert mulig produkt gjøre samme eliminasjon som Even.
Mest omfattende er oppgaven for Albert, som må ta for seg alle de
mulige summene.
For hver mulig sum må han beregne alle mulige produkter, som hver må
faktoreres for å se om et, og bare et par faktorer er i listen.
Dette må gjøres for alle summene i listen over for å avgjøre om
det er mer enn én mulig løsning.
Svar:
Tallene er 4 og 13.
Da Niels Henrik opprinnelig er sikker på at ingen av dem kan vite
hvilke tall det er kan vi konkludere:
1) Summen kan ikke være
resultat av summering av to primtall.
2) Produktet kan ikke være mindre enn 12, ellers ville det vært
bare en løsning.
Slike mulige summer -
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77,
79, 83, 87, 89, 93, 95, 97, 101, 107, 113, 117, 119, 121, 123, 125,
127, 131, 135, 137, 143, 145, 147, 149, 155, 157, 161, 163, 167,
171, 173, 177, 179, 185, 187, 189, 191, 197, ....
Even har det lettest. Han kan faktorere produktet han har fått, se
på summen av faktorer, og se om én av summene er en mulig sum (fra
listen over). Hvis det er én, og bare en slik sum, har han svaret.
Niels Henrik har det litt vanskeligere. Han må se på alle
produktene som kan fremkomme av to tall som gir summen han har fått,
og for hvert mulig produkt gjøre samme eliminasjon som Even.
Mest omfattende er oppgaven for Albert, som må ta for seg alle de
mulige summene.
For hver mulig sum må han beregne alle mulige produkter, som hver må
faktoreres for å se om et, og bare et par faktorer er i listen.
Dette må gjøres for alle summene i listen over for å avgjøre om
det er mer enn én mulig løsning.
Vi tar for oss Alberts tankegang:
Hvis summen er 11 vil Niels Henrik tro at tallene kan være (2,9),
(3,8), (4,7) eller (5,6), og siden 11 ikke er summen av to primtall
kan ikke Even vite hva de er.
Her vil produktene være 18, 24 28 og 30. I alle tilfelle, unntatt
30 ville Even visst svaret.
- Hvis produktet er 18:
Even:
- Siden produktet er 18, kan summen være 11 (2,9) eller 9 (3,6).
Men hvis summen var 9, ville Niels Henrik ha antatt at jeg kunne
vite tallene siden (2,7) er par av primtall. Derfor er tallene 2 og
9 (eller med andre ord, 9 er ikke i listen over mulige summer).
- Hvis produktet er 24:
Even:
- Siden produktet er 24 kan summen være 14 (2,12), 11 (3,8) eller
10 (4,6). Men 10 og 14 er ikke i listen over mulige summer, derfor må
tallene være 3 og 8.
Hvis produktet er 28:
Even:
- Siden produktet er 28 kan summen være 16 (2,14) eller 11 (4,7).
16 er ikke i listen, derfor må tallene være 4 og 7.
Hvis produktet er 30:
Even:
- Siden produktet er 30 kan summen være 17 (2,15), 13 (3,10) eller
11 (5,6), men 13 er ikke i listen. Tallene må derfor være 2 og 15
eller 5 og 6. Her kan ikke Even være sikker på tallene.
Derfor vil Even være sikker på tallene hvis produktet er enten 18,
24 eller 28.
Niels Henrik:
- Siden Even vet tallene må de være (3,8), (4,7) eller (5,6). Men
han vil ikke være sikker. Derfor kan ikke summen være 11.
Hvis summen er 17:
Niels Henrik:
- Siden summen er 17 kan de to tallene være (2,15), (3,14), (4,13),
(5,12), (6,11), (7,10) eller (8,9), og siden ingen av dem er par av
primtall, vil ikke Even vite tallene heller.
Even:
- Siden Niels Henrik er sikker på at ingen av oss vet tallene må
summen være i listen over mulige summer. Siden produktet er 52 er
tallene (2,26) eller (4,13). Niels Henrik kunne ikke være sikker på
at jeg ikke visste svaret hvis summen var 28, som kan være summen
av 2 og 26 (to primtall). Derfor må svaret være 4 og 13.
Niels Henrik:
- Siden Even nå vet begge tallene, av alle mulige produkter:
30(2,15), 42(3,14), 52(4,13), 60(5,12), 66 (6,11), 70 (7,10) og 72
(8,9), er det et produkt hvor listen over mulige summer inneholder
BARE EN sum fra listen over mulige summer. Derfor må tallene være
4 og 13.
Albert fant begge tallene akkurat som oss, etter å ha hørt
samtalen mellom Niels Henrik og Even.
Det er interessant å notere seg at det finnes ikke to andre slike
tall (i hvert fall med sum opp til 500).
Månedens nøtt
Første nøtt denne måneden
Premienøtter mars 2003
Premienøtter april 2003
|
